Question

（2011•嘉定区三模）已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为[

a

2

 ， 

b

2

]．若函数g(x)=

x-1

+m，g（x）∈M，则实数m的取值范围是

(0 ， 

1

2

]

．

Answer 1

分析：若函数g（x）=

x-1

+m∈M 可判断g（x）是定义域[1，+∞）上的增函数，故g（x）满足②即方程 g(x)=

1

2

x在[1，+∞）内有两个不等实根，
方法一：平方去根号，转化为二次函数在特定区间上解的问题，利用实根分布处理；
方法二：可转化为方程

x-1

=

1

2

x-m在[1，+∞）内有两个不等实根，两个函数的图象有两个交点．结合图象求解．两种方法中都要注意等价转化．

解答：解：设 g（x）=

x-1

+m，则易知g（x）是定义域[1，+∞）上的增函数．
∵g（x）∈M，
∴存在区间[a，b]?[1，+∞），满足 g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b．
即方程 g（x）=

1

2

x在[1，+∞）内有两个不等实根．
[法一]：方程

x-1

+m=

1

2

x 在[1，+∞）内有两个不等实根，等价于方程 x-1=(

1

2

x-m)2在[2t，+∞）内有两个不等实根．
即方程x²-（4m+4）x+4m²+4=0在[2m，+∞）内有两个不等实根．
根据一元二次方程根的分布有

(2m)2-(4m+4)•2m+4m2+4≥0  △=(4m+4)2-4(4m2+4)＞0 4m+4 2 ＞2m

解得 0＜m≤

1

2

因此，实数t的取值范围是 0＜m≤

1

2

．
[法二]：要使方程]：方程

x-1

+m=

1

2

x 在[1，+∞）内有两个不等实根
即方程

x-1

=

1

2

x-m在[1，+∞）内有两个不等实根
如图，当直线 y=

1

2

x-m经过点（1，0）时，m=

1

2

当直线 y=

1

2

x-m与y=

x-1

相切时，
方程两边平方，得x²-（4m+4）+4（m²+4）=0由△=0，得m=0．
因此，利用数形结合得实数t的取值范围是 0＜m≤

1

2

故答案为：（0，

1

2

]

点评：本题考查集合的包含关系、函数的定义域、值域问题，同时考查数形结合思想、等价转化思想和利用所学知识分析问题、解决问题的能力．