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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.
(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;
(3)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.
分析:(1)将f(x)=x代入定义(x+T)=T f(x)验证知函数f(x)=x不属于集合M.
(2)由题意存在x∈R使得ax=x,由新定义知存在非零常数T使得aT=T,将函数关系式代入f(x+T)=T f(x)验证知
f(x)=ax∈M.
(3)若函数f(x)=sinkx∈M,依据定义应该有sin(kx+kT)=Tsinkx∈[-1,1]对任意实数都成立,故T=±1.将T=±1代入sin(kx+kT)=Tsinkx求k的范围即可.
解答:解:(1)对于非零常数T,
f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.
因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,
所以f(x)=x∉M;
(2)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组:
y=ax
y=x
有解,消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT=T.
于是对于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aT•ax=T•ax=Tf(x)故f(x)=ax∈M;
(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,
对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx.
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立,
只有T=±1,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx成立,
则k=2mπ,m∈Z.
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,
即sin(kx-k+π)=sinkx成立,
则-k+π=2mπ,m∈Z,即k=-(2m-1)π,m∈Z.
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.
点评:考查新定义下问题的证明与求解,此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据,不能引入熟悉的算法,这是做此类题时要注意的.
练习册系列答案
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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)函数f(x)=
1
x
是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=lg
a
x2+1
∈M
,求a的取值范围;
(3)设函数y=2x图象与函数y=-x的图象有交点,证明:函数f(x)=2x+x2∈M.

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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=
k2
+f(x)恒成立.
(1)判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M;
(2)证明函数f(x)=log2x属于集合M,并找出一个常数k;
(3)已知函数f(x)=logax( a>1)与y=x的图象有公共点,证明f(x)=logax∈M.

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已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体;
①当x∈[0,+∞)时,函数值为非负实数;
②对于任意的s、t∈x[0,+∞),λ>0,都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)

在三个函数f1(x)=x-1,f2(x)=2x-1f3(x)=ln
x+1
中,属于集合M的是
f3(x)
f3(x)
(写出您认为正确的所有函数.)

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(2011•嘉定区三模)已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体:①f(x)在定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为[
a
2
 , 
b
2
]
.若函数g(x)=
x-1
+m
,g(x)∈M,则实数m的取值范围是
(0 , 
1
2
]
(0 , 
1
2
]

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