Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和,满足S_n=(1-a_n)(a＞0且a≠1,n∈N^*).数列{b_n}满足b_n=a_nlga_n(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)若数列{b_n}中每一项总小于它后面的项,求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)∵S_n=(1-a_n)(a＞0且a≠1),

    则S_n+1=(1-a_n+1).由S_n+1-S_n=a_n+1得a_n+1=(a_n-a_n+1),

    即a_n+1=a·a_n.

    当n=1时,a₁=(1-a₁),a₁=a,

∴数列{a_n}是以a为首项,公比为a的等比数列.

∴数列{a_n}的通项公式a_n=aⁿ.

(2)依题意得b_n=naⁿlga,

    令b_k+1＞b_k,则(k+1)a^k+1lga＞ka^klga.

∵a＞0且a≠1,∴a^k＞0.

∴(k+1)alga＞klga.

①当a＞1时,由a(k+1)-k＞0得a＞.

∵0＜＜1,

∴a＞1时,b_k+1＞b_k成立.

②当0＜a＜1时,lga＜0,解得a＜.

    为使不等式对任意的正整数k都成立,只需a小于的最小值.

∵=≥,解得0＜a＜.

∴a的取值范围为{a|a＞1或0＜a＜}.