Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 若θ＝90°，＝，求实数m；

(3) 试问的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1) ∵ c＝4m，椭圆离心率e＝＝，

∴ a＝5m.∴ b＝3m.

∴ 椭圆C的标准方程为＝1.

(2) 在椭圆方程＝1中，

令x＝4m，解得y＝±.

∵ 当θ＝90°时，直线MN⊥x轴，此时FM＝FN＝，∴＝.

∵＝，∴ ＝，解得m＝.

(3) 的值与θ的大小无关．

证明如下：(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d₁、d₂.

显然该值与θ的大小无关．

(证法2)当直线MN的斜率不存在时，

由(2)知，的值与θ的大小无关．

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－4m)，　

代入椭圆方程＋＝1，得

(25k²＋9)m²x²－200m³k²x＋25m⁴(16k²－9)＝0.

设点M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，

∵Δ＞0恒成立，

.

显然该值与θ的大小无关．

题型3　定点问题