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已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为2
2
,离心率e=
2
2
,过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点,且直线l的斜率k>0.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若OP⊥OQ,求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)根据长轴长为2
2
,离心率e=
2
2
,求出几何量,即可求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程,根据OP⊥OQ,结合韦达定理,即可求直线l的方程.
解答:解:(Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

∵长轴长为2
2
,离心率e=
2
2

2a=2
2
c
a
=
2
2

a=
2
,b=c=1

∴所求椭圆方程为
x2
2
+y2=1
.                    …(4分)
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2).
由 
x2+2y2=2
y=k(x-1)
可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
∴由求根公式可得:x1,2=
2k2±
2k2+2
1+2k2

x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
.…(7分)
∵y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=
-k2
1+2k2

∵OP⊥OQ,∴
OP
OQ
=0

OP
OQ
=x1x2+y1y2=
2k2-2
1+2k2
+
-k2
1+2k2
=0
,….(10分)
得k2=2,
∵k>0,∴k=
2

∴所求直线的方程为
2
x-y-
2
=0
.…(12分)
点评:本题考查椭圆方程与几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查韦达定理,正确运用韦达定理是关键.
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精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

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已知椭圆的中心在坐标原点,且经过点M(1,
2
5
5
)
,N(-2,
5
5
)
,若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合,圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长,已知点A(x,y)为圆C上的一点.
(1)求椭圆的标准方程和圆的标准方程;
(2)求
AC
AO
+2|
AC
-
AO
|
(O为坐标原点)的取值范围;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.

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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆上点P(3
2
,4)
到两焦点的距离之和是12,则椭圆的标准方程是
 

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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,焦距为6
3
,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为
2
2
,坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
2
2

(1)求椭圆的方程;
(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

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