Question

设F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P满足：①△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形；②直线PF₁与圆x2+y2=

1

4

a2相切，则此双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：设PF₁与圆相切于点M，利用△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，可得|PF₂|=|F₁F₂|，及直线PF₁与圆x2+y2=

1

4

a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．

解答：解：设PF₁与圆相切于点M，过F₂做F₂H垂直于PF₁于H，则H为PF₁的中点，
所以|F₁M|=

1

4

|PF₁|，
因为△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，
所以|PF₂|=|F₁F₂|=2c，再由椭圆的定义可得|PF₁ |=2a-|PF₂|=2a-2c，
又因为在直角△F₁MO中，|F₁M|²=|F₁O|²-

1

4

a²=c²-

1

4

a²，
所以c²-

1

4

a²=

1

16

（2a-2c）²，
所以2a²-2ac-3c²=0，
所以3e²+2e-2=0，
因为e＞1，所以e=

7 +1

3

．
故答案为：

7 +1

3

．

点评：本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的定义，确定几何量之间的关系是关键．