Question

已知

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cos（x+

π

3

），1）函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最值和单调递减区间；
（2）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=0，a=

3

，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则，计算出

a

•

b

，然后利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后，提取2，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围，即为函数f（x）的单调递减区间；
（2）利用f（A）=0求出A的值，利用余弦定理以及基本不等式求出bc的最大值，然后求解三角形面积的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

1

2

sin(2x+

π

3

)
∴当2x+

π

3

=

π

2

时，函数取得最大值，fmax(x)=

1

2

，
当2x+

π

3

=-

π

2

时，函数取得最小值，fmin(x)=-

1

2

．
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得x∈[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]，k∈Z．
f（x）的单调递减区间：x∈[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）=0，∴

1

2

sin(2A+

π

3

)=0，2A+

π

3

=kπ，A=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又A是三角形的内角，∴k=1，
∴A=

π

3

，
又a=

3

，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，⇒b²+c²-bc=3，
∵b²+c²≥2bc，∴bc≤3，
S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

3 3

4

．

点评：本题考查平面向量的数量积的运算法则，正弦函数的单调性，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．