Question

已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若

cosB

sinC

AB

+

cosC

sinB

AC

=2m

AO

，则m=（　　）

A．sinθ

B．cosθ

C．tanθ

D．不能确定

Answer 1

分析：设外接圆半径为R，把已知条件化为：

cosB

sinC

•(

OB

-

OA

)+

cosC

sinB

 •(

OC

-

OA

)=2m•

AO

，左右分别与

OA

作数量积，化简可得 sin（B+C）=m，再利用诱导公式可得m=sinA=sinθ，从而得出结论．

解答：解：设外接圆半径为R，则：

cosB

sinC

AB

+

cosC

sinB

AC

=2m

AO

 可化为：

cosB

sinC

•(

OB

-

OA

)+

cosC

sinB

 •(

OC

-

OA

)=2m•

AO

  （*）．
易知

OA

与

OB

的夹角为2∠C，

OC

与

OA

的夹角为2∠B，

OA

与

OA

的夹角为0，
|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=R．
则对（*）式左右分别与

OA

作数量积，可得：

cosB

sinC

•

OA

•

OB

-

cosB

sinC

•

OA

2+

cosC

sinB

 •

OC

•

OA

-

cosC

sinB

 •

OA

2=-2m

OA

2．
即

cosB

sinC

• R² （cos2C-1）+

cosC

sinB

•R²（cos2B-1）=-2mR²．
∴-2sinCcosB+（-2sinBcosC）=-2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m．
因为sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，
所以，m=sinA=sinθ，
故选A．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两角和差的正弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题．