Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2bx+c有两个极值点x₁，x₂，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，则直线bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范围$（-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}）$．

Answer 1

分析 根据极值的意义可知，极值点x₁、x₂是导函数d的零点，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．

解答 解：f′（x）=x²+2ax+2b=g（x），
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+2bx+c有两个极值点x₁，x₂，
且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，
则x₁，x₂是函数g（x）的两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-8b＞0}\\{g（-1）=1-2a+2b＞0}\\{g（1）=1+2a+2b＜0}\\{g（2）=4+4a+2b＞0}\end{array}\right.$，其中△＞0可以去掉．
画出可行域：平面三角形ABC的内部的所有点．
A$（0，-\frac{1}{2}）$，B$（-\frac{3}{2}，1）$，C$（-\frac{1}{2}，-1）$．
直线bx-（a-1）y+3=0的斜率k=$\frac{b}{a-1}$，表示经过两点（a，b），P（1，0）的直线的斜率．
k_PC=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，k_PB=$\frac{1}{-\frac{3}{2}-1}$=-$\frac{2}{5}$．
∴$-\frac{2}{5}＜k＜\frac{2}{3}$．
故答案为：$（-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、解不等式、线性规划、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．