Question

4．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且与椭圆x²+$\frac{y^2}{2}$=1有相同离心率，直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，（O为坐标原点），求实数λ取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出椭圆几何量的方程组，求解a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合向量关系，推出结果即可．

解答 解：（ I）由已知可$\left\{{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{c=1}\end{array}}\right.$，∴b=1．
所求椭圆C的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．         …（4分）
（ II）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²）．
由直线直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，有△＞0，∴1+2k²＞m²．   ①
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}}\\{x{\;}_1{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}\end{array}}\right.$
于是${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+2{k^2}}}$．                   …（8分）
当m=0时，易知点A，B关于原点对称，则λ=0；
当m≠0时，易知点A，B不关于原点对称，则λ≠0．
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{OQ}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_Q}=\frac{1}{λ}（{x_1}+{x_2}）}\\{{y_Q}=\frac{1}{λ}（{y_1}+{y_2}）}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{{x_Q}=\frac{-4km}{{λ（1+2{k^2}）}}}\\{{y_Q}=\frac{2m}{{λ（1+2{k^2}）}}}\end{array}}\right.$．
∵Q点在椭圆上，∴${[\frac{-4km}{{λ（1+2{k^2}）}}]^2}+2{[\frac{2m}{{λ（1+2{k^2}）}}]^2}=2$．
化简得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，∴4m²=λ²（1+2k²）．   ②
由①②两式可得λ²＜4，∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综上可得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2．                  …（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及圆锥曲线的范围问题的解法，考查分析问题解决问题以及转化思想的应用．