Question

12．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且 cosA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，BC=1，AC=3，且球O的表面积为16π，则三棱锥O-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{14}}}{6}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 由正弦定理得sinB=1，B=90°．斜边AC的中点就是△ABC的外接圆的圆心，求出三棱锥O-ABC的高h=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{AC}{2}）^{2}}$，由此能求出三棱锥O-ABC的体积．

解答 解：△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，
且 cosA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，BC=1，AC=3，
∴sin²A=1-cos²A=$\frac{1}{9}$，sinA=$\frac{1}{3}$，
由正弦定理可知：$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，
∴sinB=1，B=90°．斜边AC的中点就是△ABC的外接圆的圆心，
∵球O的表面积为16π，∴球半径R=2，
又AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
三棱锥O-ABC的高h=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{AC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴三棱锥O-ABC的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=$\frac{1}{3}×AB×BC×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{14}}{6}$．
故选：B．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、球的性质的合理运用．