Question

18．如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=$\sqrt{3}$，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°
（Ⅰ）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求证BC⊥平面SAB；
（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小（本小问不必写出解答过程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BE，由$BC=DE=\sqrt{3}$，得∠BCD=∠CDE=120°，推导出∠SBE 即为异面直线CD 与SB 所成的角．由此能求出异面直线CD 与SB 所成的角．
（Ⅱ）五边形ABCDE 是轴对称图形，从而BC⊥AB，再求出SA⊥BC，由此能证明BC⊥平面SAB．
（Ⅲ）作出二面角的平面角∠DFG，由此能求出二面角B-SC-D 的大小．

解答 解：（Ⅰ）连结BE，由$BC=DE=\sqrt{3}$，得∠BCD=∠CDE=120°，
由图形的对称性可知，四边形BCDE 是等腰梯形，BE∥CD，
∴∠SBE 即为异面直线CD 与SB 所成的角．
∵SA⊥平面ABCDE，SA=AB=AE=2，
∴SA⊥AB，SA⊥AE，$SB=SE=2\sqrt{2}$．
在△ABE 中，∵AB=AE=2，∠BAE=120°，∴$BE=2\sqrt{3}$．
在△SBE 中，∵$SB=SE=2\sqrt{2}$，$BE=2\sqrt{3}$，
∴$cos∠SBE=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$∠SBE=arccos\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
因此，异面直线CD 与SB 所成的角为$arccos\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四边形BCDE 是等腰梯形，△ABE 是等腰三角形，
∴五边形ABCDE 是轴对称图形，
∴$∠ABC=∠AEC=\frac{1}{2}（{540°}-{120°}-{120°}-{120°}）={90°}$，即BC⊥AB．
又∵SA⊥平面ABCDE，∴SA⊥BC．
而SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．
解：（Ⅲ）作出二面角的平面角∠DFG，
由题意知二面角B-SC-D 的大小为$π-arccos\frac{{7\sqrt{82}}}{82}$．

点评 本小题主要考查异面直线所成角、线面垂直、二面角等基础知识以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．