Question

10．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx+3．
（1）当a=1时，请用导数的定义求函数f（x）的导数；
（2）求函数g（x）在点（1，3）处的切线方程；
（3）若函数h（x）=f（x）-g（x）在x∈[e^-4，e]上的图象与直线y=t（0≤t≤1）总有两个不同交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的定义即可求出．
（2）求出函数在x=1处的导数，可得函数g（x）在点（1，3）处的切线方程；
（3）求出原函数的导函数，分a≤0和a＞0讨论，当a＞0时由导函数在不同区间内的符号得到原函数的单调性，从而求出函数在区间[e^-4，e]上的最小值点，由最小值小于0，且区间端点处的函数值大于等于0联立不等式组求解a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x，
△y=（x+△x）+x=△x，
∴$\frac{△y}{△x}$=1，
∴f′（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$=1；
（2）∵g（x）=lnx+3，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴g′（1）=1，
∴函数g（x）在点（1，3）处的切线方程为y-3=x-1，即y=x+2；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx-3，
∴h′（x）=a-$\frac{1}{x}$
当a≤0时，在x∈[e^-4，e]上恒小于0，函数f（x）在[e^-4，e]上单调递减，不满足题意；
当a＞0时，由h′（x）＜0，得e^-4＜x＜$\frac{1}{a}$，函数h（x）递减，
由h′（x）＞0，得$\frac{1}{a}$＜x＜e，函数h（x）递增，
∴函数h（x）在x∈[e^-4，e]上的图象与直线y=t（0≤t≤1）恒有两个不同交点，
则需$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{a}）＜0}\\{h（e）≥1}\\{h（{e}^{-4}）≥0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{1+lna-3＜0}\\{ae-1-3≥1}\\{a{e}^{-4}+4-3≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{5}{e}$≤a＜e²，
∴实数a的取值范围是[$\frac{5}{e}$，e²）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．