Question

3．如图，矩形CDEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直，AD=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{3}$，AB=4，EG=$\frac{1}{4}$EF，点M在线段GF上（包括两端点），点
N在线段AB上，且$\overrightarrow{GM}$=$\overrightarrow{AN}$，则二面角M-DN-C的平面角的取值范围为（　　）

• A． [30°，45°]
• B． [45°，60°]
• C． [30°，90°）
• D． [60°，90°）

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-DN-C的平面角的取值范围．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{3}$，AB=4，
EG=$\frac{1}{4}$EF=1，
点M在线段GF上（包括两端点），
点N在线段AB上，且$\overrightarrow{GM}$=$\overrightarrow{AN}$，
∴0≤AN=EM≤3，
D（0，0，0），设N（$\sqrt{2}$，a-1，0），a∈[1，4]，则M（0，a，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DN}$=（$\sqrt{2}，a-1，0$），
$\overrightarrow{DM}$=（0，a，$\sqrt{3}$），
设平面DMN的法向量
$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=\sqrt{2}x+（a-1）y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=ay+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{a-1}{\sqrt{2}}$，1，-$\frac{a}{\sqrt{3}}$）
平面DNC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角M-DN-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2{a}^{2}}{5{a}^{2}-6a+9}$=$\frac{2}{9（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+4}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴45°≤θ≤60°．
∴二面角M-DN-C的平面角的取值范围为[45°，60°]．
故选：B．

点评 本题考查二面角的平面角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．