Question

12．设函数f（x）=x²+ax-lnx，其中实数a为常数．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在区间（0，1]上是减函数，其中e为自然对数的底数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先求导，再构造函数设h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx 由h'（x）在（0，1]上是减函数，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通过研究2-a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求参数的取值范围

解答 解：（1）a=2，y=f（x）=x²+2x-lnx，
∴f′（x）=2x+2-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=2+2-1=3，f（1）=1+2-0=3，
∴曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：y-3=3×（x-1），即y=3x．
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，f（x）=x²+ax-lnx，
∴g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$，
设h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，
则h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+2-a，
易知h′（x）在（0，+∞）上是减函数，
从而h′（x）≥h′（1）=2-a，
①当2-a≥0时，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0，1）上是增函数
∵h（1）=0，
∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，
即g′（x）≤0区间（0，1]上是单调递减函数，
∴a≤2满足题意，
②当2-a＜0时，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x₀，则h（x）在（0，x₀）上单调递增，在（x₀，1）单调递减，
又∵h（1）=0，
∴h（x₀）＞0，
又∵h（e^-a）＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点m，
当x∈（0，m）时，h（x）＜0，
当x∈（m，1）时，h（x）＞0，从而f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）上单调递增，与在区间（0，1]上是减函数矛盾，
∴a＞2不合题意，
综合所述a的取值范围为（-∞，2]．

点评 考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性，属于中档题．