Question

5．已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲线y=f（x）过点P（1，-1），可得-1=ln1-m，解得m，再利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线方程．
（2）f（x）≤0恒成立，即lnx-mx≤0恒成立，可得mx≥lnx．又f（x）定义域为（0，+∞），可得$m≥\frac{lnx}{x}$恒成立．设$g（x）=\frac{lnx}{x}$，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．
（3）$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$．对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出最值．

解答 解：（1）∵曲线y=f（x）过点P（1，-1），∴-1=ln1-m，解得m=1．
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
f′（1）=0，
∴过点P（1，-1）的切线方程为y=-1．
（2）∵f（x）≤0恒成立，即lnx-mx≤0恒成立，∴mx≥lnx．
又∵f（x）定义域为（0，+∞），∴$m≥\frac{lnx}{x}$恒成立．
设$g（x）=\frac{lnx}{x}$，∵$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
∴当x=e时，g'（e）=0．
当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数；
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数．
∴$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$，
∴当$m≥\frac{1}{e}$时，f（x）≤0恒成立．
（3）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$．
①当m≤0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）为单增函数，∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
②当$\frac{1}{e}＜m＜1$时，即$1＜\frac{1}{m}＜e$时，$x∈（0，\frac{1}{m}）$时，f'（x）＞0，f（x）为单增函数．
$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$时，f'（x）＜0，f（x）为单减函数．
∴x∈[1，e]上，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=-lnm-1$．
③当m≥1时，$0＜\frac{1}{m}≤1$，f（x）在$（\frac{1}{m}，+∞）$为单减函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．
④当$0＜m≤\frac{1}{e}$时，$\frac{1}{m}$≥e，f（x）在$（0，\frac{1}{m}）$为单增函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
综上所述：$m≤\frac{1}{e}$时，f（x）_max=f（e）=1-me．
当$\frac{1}{e}＜m＜1$时，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=-lnm-1$．
当m≥1时，x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、解不等式、导数的几何意义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．