Question

9．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$的值为-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算，数形结合求得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$的值．

解答 解：∵等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AE}$，
∴D为BC的中点，E为AC的三等分点，且E靠近点A，如图所示：
则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$•（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$•（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=-$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}^{2}}{6}$-$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{3}$=-2+$\frac{2}{3}$-0=-$\frac{4}{3}$，
故答案为：-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积公式的运用，用到了向量垂直的数量积为0的性质，属于中档题．