Question

1．某空间几何体ABCDEF的三视图及直观图如图所示

（1）求异面直线BD与EF所成角的大小
（2）求二面角D-BF-E的大小
（3）求该几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD与EF所成角的大小．
（2）求出平面BDF的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角D-BF-E的大小．
（3）该几何体ABCDEF的体积V=S_F-ABD+S_B-DCEF，由此能求出结果．

解答 解：（1）由空间几何体ABCDEF的三视图及直观图，
得ABCD是边长为1的正方形，DF⊥面ABCD，CF⊥面ABCD，FD=2，FC=1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），F（0，0，2），
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
设异面直线BD与EF所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{DB}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°．
∴异面直线BD与EF所成角的大小为60°．
（2）$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{BF}$=（-1，-1，2），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-a+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-a-b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1-1+0=0，
∴二面角D-BF-E的大小为90°．
（3）该几何体ABCDEF的体积：
V=S_F-ABD+S_B-DCEF
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×DF$+$\frac{1}{3}×{S}_{梯形DCEF}×BC$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×1×1$
=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的大小的求法，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．