Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$
（1）若函数在区间（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，求证：不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，则f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），利用导数研究函数的极值，进而的a的取值范围．
（2）当x≥1时，不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．等价于：2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性可得其最小值，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，则f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在x=1处取得极大值．
∵函数在区间（a，a+$\frac{1}{2}$）（其中a＞0）上存在极值，
∴$0＜a＜1＜a+\frac{1}{2}$，
解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
（2）证明：当x≥1时，不等式f（x）＞$\frac{2cos2x}{x+1}$恒成立．
等价于：2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$=g（x），
x≥1时，x＞lnx．
g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
因此函数g（x）在x≥1时单调递增，
∴g（x）≥g（1）=2．当且仅当x=1时取等号．
而x=1时，2cos2x＜2．x＞1时，2cos2x≤2．
∴2cos2x＜$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$恒成立．
则原不等式成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性与值域，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于难题．