Question

16．设函数f（x）=|x-1|+|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，利用绝对值的几何意义求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，不等式f（x）≥a|x|恒成立，分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≥2可化为|x-1|+|2x-1|≥2，
x＜$\frac{1}{2}$，不等式化为1-x+1-2x≥2，∴x≤0，∴x≤0；
$\frac{1}{2}≤x≤1$，不等式化为1-x+2x-1≥2，∴x≥2，不成立；
x＞1，不等式化为x-1+2x-1≥2，∴x≥$\frac{4}{3}$，∴x≥$\frac{4}{3}$；
综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≤0或$x≥\left.{\frac{4}{3}}\right\}$．-------------（6分）
（2）当x=0时，f（x）=2，a|x|=0，原式恒成立；
当x≠0时，原式等价转换为$|{1-\frac{1}{x}}|+|{2-\frac{1}{x}}|≥a$恒成立，即$a≤|{1-\frac{1}{x}}|+{|{2-\frac{1}{x}}|_{min}}$．
∵$|{1-\frac{1}{x}}|+|{2-\frac{1}{x}}|≥|{（{1-\frac{1}{x}}）-（{2-\frac{1}{x}}）}|=1$，当且仅当$（{1-\frac{1}{x}}）（{2-\frac{1}{x}}）≤0$即$\frac{1}{2}≤x≤1$时取等，
∴a≤1．-------------（12分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．