Question

8．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于M，过点M作⊙C：（x-2）²+y²=1的两条切线，切点为A，B，|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过抛物线E上一点N作⊙C的两条切线，切点分别为P，Q，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$，求点N的坐标及|PQ|长度．

Answer 1

分析 （1）设AB与x轴交于点R，求出|AR|，|CR|，即可求抛物线E的方程；
（2）求出圆D，C的方程，两圆相减，可得直线PQ的方程，利用直线PQ经过点O，即可求点N的坐标及|PQ|长度．

解答 解：（1）由已知得M（-$\frac{p}{2}$，0），C（2，0）．
设AB与x轴交于点R，
由圆的对称性可知，|AR|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
于是|CR|=$\frac{1}{3}$
所以|CM|=$\frac{|AC|}{sin∠AMC}$=$\frac{|AC|}{sin∠CAR}$=3，
即2+$\frac{p}{2}$=3，p=2．
故抛物线E的方程为y²=4x．
（2）设N（s，t）．
P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．
圆D方程为（x-$\frac{s+2}{2}$）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=$\frac{（s-2）^{2}+{t}^{2}}{4}$，
即x²+y²-（s+2）x-ty+2s=0．①
又圆C方程为x²+y²-4x+3=0．②
②-①得（s-2）x+ty+3-2s=0．③
P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．
因为直线PQ经过点O，所以3-2s=0，s=$\frac{3}{2}$．
故点N坐标为（$\frac{3}{2}$，$±\sqrt{6}$），
PQ的方程为-$\frac{1}{2}$x$±\sqrt{6}$y=0，|PQ|=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查圆的方程，考查两圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，求得PQ的方程是关键．