Question

20．已知函数f（x）对?x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足当x≠2时，（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（　　）

• A． f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B． f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
• C． f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• D． f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

分析 由f（x）=f（4-x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由（x-2）f′（x）＞0，可知f（x）在（-∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．

解答 解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），
∴f（x）关于直线x=2对称；
又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x-2）＞0，
∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减；
f（x）的最小值为f（2）
∵2＜a＜4，
∴1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，又4＜2^a＜16，f（log₂a）=f（4-log₂a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；
∴f（log₂a）＜f（2^a），
∴f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故选：D．

点评 本题综合考查了导数的运用，函数的对称性，单调性的运用，综合运用对数解决问题的能力，属于中档题．