Question

15．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式$\frac{（x+2016）f（x+2016）}{5}＜\frac{5f（5）}{x+2016}$的解集为（　　）

• A． {x＞-2011}
• B． {x|x＜-2011}
• C． {x|-2011＜x＜0}
• D． {x|-2016＜x＜-2011}

Answer 1

分析 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论

解答 解：构造函数g（x）=x²f（x），g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））；
当x＞0时，
∵2f（x）+xf′（x）＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵不等式$\frac{（x+2016）f（x+2016）}{5}＜\frac{5f（5）}{x+2016}$，
∴x+2016＞0时，即x＞-2016时，
∴（x+2016）²f（x+2016）＜5²f（5），
∴g（x+2016）＜g（5），
∴x+2016＜5，
∴-2016＜x＜-2011，
故选：D．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键