Question

3．已知函数f（x）=$\frac{x}{k}$-lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k=2，判断方程f（x）-1=0在区间（$\frac{1}{e}$，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有$\frac{x}{2}$-M＞lnx．

Answer 1

分析 （1）先求出导函数，再根据函数的单调性即可求出函数的最小值，
（2）根据函数的零点定理，即可判断方程f（x）-1=0在区间（$\frac{1}{e}$，1）内实数解的个数，
（3）根据（1）的结论，得到$\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$①，$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3$②，即可证明结论．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{k}-\frac{1}{x}=\frac{x-k}{kx}$
当0＜x＜k时，f'（x）＜0，当x＞k时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，k）单调递减，在（k，+∞）单调递增，
从而f（x）_min=f（k）=1-lnk，
（2）k=2时，$f（x）-1=\frac{x}{2}-lnx-1$
因为$f（\frac{1}{e}）-1=\frac{1}{2e}＞0$，$f（1）-1=-\frac{1}{2}＜0$，且f（x）的图象是连续的，
所以f（x）-1=0在区间$（\frac{1}{e}，1）$内有实数解；
又当$x∈（\frac{1}{e}，1）$时，$f'（x）=\frac{x-2}{2x}＜0$，所以f（x）在（0，1）上单调递减，
从而f（x）-1=0在区间$（{\frac{1}{e}，1}）$内至多有一个实数解，
故f（x）-1=0在区间$（{\frac{1}{e}，1}）$内有唯一的有实数解．
（3）证明：由（1）知：${（\frac{x}{3}-lnx）_{min}}=1-ln3$
所以x＞0时，$\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$①
由$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3$得：x＞6（M-1+ln3）
所以x＞6（M-1+ln3）＞0时，$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3$②
由①②知：取x₀=6（M-1+ln3）＞0，则当x＞x₀时，
有$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$，
即$\frac{x}{2}-M＞lnx$成立．

点评 本题考查了导数的应用问题，也考查运算求解能力以及逻辑推理能力，考查了函数与方程思想的应用问题，是难题目．