Question

12．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个四棱锥的外接球的表面积是13π．

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可得该几何体的外接球，相当于与棱锥同底同高的长方体的外接球，求了球的半径，代入可得答案．

解答 解：由已知中的三视图，可得该几何体的外接球，相当于与棱锥同底同高的长方体的外接球，
底面的对角线为2，故底面外接圆半径r=1，
棱锥的高h=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{2}^{2}}$=3，
则球心到底面的距离d=$\frac{1}{2}h$=$\frac{3}{2}$，
故球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{4}}$，
故球的表面积：S=4πR²=13π，
故答案为：13π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．