Question

4．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求|$\overrightarrow{CE}$|
（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；
（3）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系．利用向量法能求出|$\overrightarrow{CE}$|．
（2）求出$\overrightarrow{CE}=（2，-1，2）$，$\overrightarrow{AF}=（-2，1，0）$，利用向量法能求出直线EC与AF所成角的余弦值．
（3）求出平面ABCD的一个法向量和平面AEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角E-AF-B的余弦值．

解答 解：（1）在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
建立如图所示的空间直角坐标系．则
A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
$\overrightarrow{CE}=（2，-1，2）$，…（2分）
∴$|{\overrightarrow{CE}}|=\sqrt{{2^2}+{{（-1）}^2}+{2^2}}=3$…（4分）
（2）∵$\overrightarrow{CE}=（2，-1，2）$，$\overrightarrow{AF}=（-2，1，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{AF，}\overrightarrow{CE}＞=\frac{-4-1}{{\sqrt{{{（-2）}^2}+{1^2}}•\sqrt{{2^2}+{{（-1）}^2}+{2^2}}}}=-\frac{{\sqrt{5}}}{3}$…（6分）
∴直线EC与AF所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．…（8分）
（如果把向量的夹角当成直线的夹角，扣1分）
（3）平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（0，0，1）$…（9分）
设平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{AF}=（-2，1，0）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，2）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2x+y=0\\ y+2z=0\end{array}\right.$，令x=1，则y=2，z=-1$⇒\overrightarrow{n_2}=（1，2，-1）$，…（10分）
则$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{-1}{{\sqrt{1+4+1}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（12分）
由图知二面角E-AF-B为锐二面角，其余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（14分）
（如果把向量的夹角当成二面角的平面角，扣2分）

点评 本题考查线段长、两直线夹角余弦值、二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．