Question

14．已知函数f（x）=x（ax+b）-lnx（a≥0，b∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若b=a-2，且不存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）≤0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间；
（2）由题意，只要求出函数f（x）_min＞0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+bx-lnx，x∈（0，+∞），得$f'（x）=\frac{{2a{x^2}+bx-1}}{x}$．
①当a=0时，$f'（x）=\frac{bx-1}{x}$．
（i） 若b≤0，当x＞0时，f'（x）＜0恒成立，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．
（ii） 若b＞0，当$0＜x＜\frac{1}{b}$时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当$x＞\frac{1}{b}$时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的单调递减区间是$（0，\frac{1}{b}）$，单调递增区间是$（\frac{1}{b}，+∞）$．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得2ax²+bx-1=0．
由△=b²+8a＞0得${x_1}=\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}，\;{x_2}=\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$．
显然，x₁＜0，x₂＞0．
当0＜x＜x₂时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x＞x₂时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
所以函数f（x）的单调递减区间是$（0，\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}）$，单调递增区间是$（\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}，+∞）$．
综上所述，
当a=0，b≤0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．
当a=0，b＞0时，函数f（x）的单调递减区间是$（0，\frac{1}{b}）$，单调递增区间是$（\frac{1}{b}，+∞）$．
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是$（0，\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}）$，单调递增区间是$（\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}，+∞）$
（2）①当a=0时，b=-2，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（1）=-2＜0，不合题意．
②当a＞0时，由（1）可知，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$单调递减，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递增，
所以只需f（x）的最小值为$f（\frac{1}{a}）=a{（\frac{1}{a}）^2}+（a-2）•\frac{1}{a}-ln\frac{1}{a}$=$lna-\frac{1}{a}+1＞0$即可，
令$g（a）=lna-\frac{1}{a}+1$，
则g（a）在（0，+∞）上单调递增，
g（1）=0，
所以当0＜a＜1时，g（a）＜0，
当a＞1时，g（a）＞0，
所以a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数的单调性及最值，以及分类讨论的思想，转化思想，属于中档题．