Question

6．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：CD⊥AE；
（2）证明：AE⊥平面PDC；
（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥CD，从而CD⊥面PAC，由此能证明CD⊥AE．
（2）推导出PC⊥AE，CD⊥AE，由此能证明AE⊥面PDC．
（3）由题可知PA，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，
∵AE?面PAC，∴CD⊥AE．…（4分）
（2）∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴PA=AC，
又E是PC的中点，∴PC⊥AE，
又由（1）可知CD⊥AE，
∵CD∩PC=C，∴AE⊥面PDC．…（8分）
解：（3）由题可知 PA，AB，AD两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
设AB=2，则$B（2，0，0），C（1，\sqrt{3}，0），P（0，0，2）$，$D（0，\frac{4}{{\sqrt{3}}}，0）$．
设面PBC的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{PB}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，\sqrt{3，}0）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow m=0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow m=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}}\right.$，
取$y=\sqrt{3}$，则x=z=3，即$\overrightarrow m=（3，\sqrt{3}，3）$，
设面PDC的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{PC}=（1，\sqrt{3}，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，\frac{4}{{\sqrt{3}}}，-2）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow n=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y-2z=0}\\{\frac{4}{{\sqrt{3}}}y-2z=0}\end{array}}\right.$，
取$y=\sqrt{3}$则x=1，z=2，即$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，2）$，
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}}{{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}}=\frac{3+3+6}{{\sqrt{21}\sqrt{8}}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，
由图可知二面角B-PC-D的余弦值为$-\frac{{\sqrt{42}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直和线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．