Question

16．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF₁为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F₂AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图所示，由△F₂AB是等边三角形，可得∠AF₂F₁=30^°．在RT△AF₁F₂中，|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c．再利用椭圆的定义即可得出．

解答 解：如图所示，
由△F₂AB是等边三角形，∴∠AF₂F₁=30^°．
在RT△AF₁F₂中，|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c．
∴c+$\sqrt{3}$c=2a．可得：$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$-1．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义与对称性、等边三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．