Question

7．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大值时，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，求得椭圆方程；（2）由题分析得直线l的斜率存在，可设为y=kx+2，与椭圆方程联立，根据韦达定理，求△OAB的面积最大时的k值，再求线段AB的长．

解答 解：（1）∵离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$…①
∵过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\sqrt{2}$
∴通径长$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$…②
由①②及a²=b²+c²，解的a=$\sqrt{2}$，b=c=1
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）由题可知，直线l的斜率存在，故设为y=kx+2，
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+8kx+6=0
△=16k²-24＞0得${k}^{2}＞\frac{3}{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8k}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{6}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$
∵P在椭圆外，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×|OP|×|{x}_{1}-{x}_{2}|$=|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{16{k}^{2}-24}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{4{k}^{2}-6}}{1+2{k}^{2}}$
令$t=\sqrt{4{k}^{2}-6}$（t＞0）得4k²=t²+6
∴S_△OAB=$\frac{4t}{8+{t}^{2}}$=$\frac{4}{\frac{8}{t}+t}$$≤\frac{4}{2\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
当且仅当$\frac{8}{t}=t$，即${k}^{2}=\frac{7}{2}$（符合）时，面积取得最大值．
此时|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-6）}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．

点评 考查椭圆的基本性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中面积、弦长的求解方法，基本不等式求最大值．考查了换元法，方程与函数思想．属于圆锥曲线中的中档题．