Question

17．设f（x）=$\sqrt{10sinx-2}-\sqrt{5cosx-3}$
（1）若锐角θ满足tan2θ=$\frac{24}{7}$，问：θ是否为方程f（x）=1的解？为什么？
（2）求方程f（x）=1在区间（-∞，+∞）上的解集．

Answer 1

分析 （1）根据锐角θ满足tan2θ=$\frac{24}{7}$，求出sinθ和cosθ的值，代入函数f（x）是否等于1即可判断．
（2）由方程f（x）=1，利用（1）的结论求解即可．

解答 解：（1）tan2θ=$\frac{24}{7}$=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$，
即12tan²θ+7tanθ-12=0，
解得：tanθ=$\frac{3}{4}$或$-\frac{4}{3}$，
∵θ是锐角，
可得tanθ=$\frac{3}{4}$．即$\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{3}{4}$
那么：sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$．
∴f（θ）=$\sqrt{10×\frac{3}{5}-2}$-$\sqrt{5×\frac{4}{5}-3}$=1，
故得锐角θ满足tan2θ=$\frac{24}{7}$时，θ是方程f（x）=1的解；
（2）由（1）可知，tanx=$\frac{3}{4}$，x是方程f（x）=1的解．
则x=arctan$\frac{3}{4}$，
∴方程f（x）=1在区间（-∞，+∞）上的解集为{x|x=arctan$\frac{3}{4}$+kπ，k∈Z}．

点评 本题考察了三角函数的化简计算能力和二倍角公式的运用能力．考查思想的转换，属于中档题．