Question

7．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=-1相切，则抛物线的方程为y²=4x．

Answer 1

分析 判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=-2，即可求抛物线的标准方程．

解答 解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
由已知得准线方程为x=-1，
∴$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
故所求的抛物线方程为y²=4x．
故答案为：y²=4x．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．