Question

2．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式，及二倍角公式和和差角公式，可得函数f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），进而可得函数f（x）的最小正周期；
（2）令x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间．令x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z，解得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx=sin（x-$\frac{π}{6}$），-----------（4分）
∴f（x）最小正周期为T=2π------------（6分）
（2）由x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z，
从而可得函数f（x）的单调递增区间是：[-$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{2π}{3}$+2kπ]，k∈Z---（9分）
由x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z，
从而可得函数f（x）的单调递减区间是：[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z--（12分）

点评 本题考查的知识点是向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，三角函数的图象和性质，难度中档．