Question

12．已知x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函数f（x）=${cos^2}（ωx-\frac{π}{6}）-{sin^2}$ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若对任意$x∈[-\frac{7π}{12}，0]$，都有|f（x）-m|≤1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式与出公式可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$（2ωx+\frac{π}{3}）$，由x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函数f（x）=${cos^2}（ωx-\frac{π}{6}）-{sin^2}$ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．可得函数的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω，进而得出单调区间．
（2）|f（x）-m|≤1，?f（x）-1≤m≤f（x）+1，对?x∈$x∈[-\frac{7π}{12}，0]$，都有|f（x）-m|≤1，可得m≥f（x）_max-1且m≤f（x）_min+1，即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+cos（2ωx-\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos2ωx}{2}$
=$\frac{\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+cos2ωx}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$（2ωx+\frac{π}{3}）$，
∵x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函数f（x）=${cos^2}（ωx-\frac{π}{6}）-{sin^2}$ωx（ω＞0）的两个相邻的零点．
∴函数的周期T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=1，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$sin（2x+\frac{π}{3}）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{12}$+kπ，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（2）|f（x）-m|≤1，?f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∵对?x∈$x∈[-\frac{7π}{12}，0]$，都有|f（x）-m|≤1，
∴m≥f（x）_max-1且m≤f（x）_min+1，
∵$-\frac{7π}{12}$≤x≤0，∴$-\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，
∴sin$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[-1，\frac{\sqrt{3}}{2}]$，∴f（x）_max=$\frac{3}{4}$，f（x）_min=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≥m≥-$\frac{1}{4}$．
∴实数m的取值范围是$[-\frac{1}{4}，1-\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．