Question

4．已知函数f（x）=ax³+bx²，在x=1处有极大值3，则f（x）的极小值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． -3

Answer 1

分析 求函数的导数，结合函数的极大值建立方程关系进行求解a，b．根据函数极值的定义进行求解函数的极小值即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=3ax²+2bx，
∵当x=1时，函数有极大值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+2b=0}\end{array}\right.$．得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$，
经检验x=1是函数的极大值，
故a=-6，b=9．
函数化为f（x）=-6x³+9x²，
f′（x）=-18x²+18x，
由f′（x）＞0得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜0，
即当x=1时函数取得极大值3，
当x=0时，函数取得极小值f（0）=0．
故选：A．

点评 本题主要考查函数极值的求解和应用，根据函数极值和函数导数之间的关系，建立方程关系是解决本题的关键．