Question

16．已知点F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两焦点，P为该椭圆C上的任意一点，△PF₁F₂的面积的最大值为$\sqrt{3}$，
且椭圆C过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）点A为椭圆C的右顶点，过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于不同的两点M，N，求$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\frac{1}{2}×2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解得a，b，即可得出椭圆C的方程．
（II）设EF的方程为：my=x-1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为：（m²+4）y²+2my-3=0．直线AE的方程为：y-0=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-2}$（x-2），可得M$（3，\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．直线AF的方程为：y-0=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-2}$（x-2），可得N$（3，\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$=（3-x₁）（3-x₂）+$（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}-{y}_{1}）（\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}-{y}_{2}）$=$\frac{[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}][（{m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1]}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$，把根与系数的关系代入化简即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：$\frac{1}{2}×2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
又a²=b²+c²，联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）设EF的方程为：my=x-1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$．
直线AE的方程为：y-0=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-2}$（x-2），令x=3，可得y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，
可得M$（3，\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．
直线AF的方程为：y-0=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-2}$（x-2），令x=3，可得y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
可得N$（3，\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．
∴$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$=（3-x₁）（3-x₂）+$（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}-{y}_{1}）（\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}-{y}_{2}）$
=（2-my₁）（2-my₂）+$\frac{2{y}_{1}-m{y}_{1}^{2}}{m{y}_{1}-1}$•$\frac{2{y}_{2}-m{y}_{2}^{2}}{m{y}_{2}-1}$=$\frac{[4-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}][（{m}^{2}+1）{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1]}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$
=$\frac{[4+\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}-\frac{3{m}^{2}}{{m}^{2}+4}][\frac{-3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}+\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+1]}{\frac{-3{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+4}+1}$
=$\frac{5{m}^{2}+16}{（1-{m}^{2}）（{m}^{2}+4）}$=$\frac{5{m}^{2}+16}{-{m}^{4}-3{m}^{2}+4}$=f（m）．
令m²+1=t≥1，t≠2，则f（m）=g（t）=$\frac{5t+11}{-{t}^{2}-t+6}$=$\frac{1}{-\frac{1}{5}（t-\frac{84}{25t+55}-\frac{6}{5}）}$，
分母$-\frac{1}{5}（t-\frac{84}{25t+55}-\frac{6}{5}）$在t≥1时单调递减，∴分母≤$\frac{1}{4}$，且分母≠0．
∴g（t）≥4或g（t）＜0．
∴$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{FN}$的取值范围是（-∞，0）∪[4，+∞）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．