Question

6．如图，在六面体中ABCD-A₁B₁C₁D₁，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（1）求证：A₁C₁与AC共面，B₁D₁与BD共面．
（2）求二面角A-BB₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD．可得D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD．于是C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA．设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A₁E，C₁F，于是A₁C₁∥EF．由DE=DF=1，得EF∥AC，可得A₁C₁∥AC，A₁C₁与AC共面．过点B₁作B₁O⊥平面ABCD于点O，连接OE，OF，可得OE=OF．OE⊥AD，OF⊥CD．即可证明点O在BD上，故B₁D₁与BD共面．
（2）由（1）知AC⊥DD₁，AC⊥DB，可得AC⊥平面DBB₁D₁．过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MO，可得B₁B⊥平面AMC，BB₁⊥MO．因此∠AMO是二面角A-BB₁-D的一个平面角．利用勾股定理、直角三角形面积计算公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，D₁D⊥平面ABCD．
∴D₁D⊥DA，D₁D⊥DC，平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD．
于是C₁D₁∥CD，D₁A₁∥DA．
设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A₁E，C₁F，
有A₁E∥D₁D，C₁F∥D₁D，DE=1，DF=1．∴A₁E∥C₁F，
于是A₁C₁∥EF．
由DE=DF=1，得EF∥AC，
故A₁C₁∥AC，A₁C₁与AC共面．
过点B₁作B₁O⊥平面ABCD于点O，
则${B_1}O\underline{\underline{∥}}{A_1}E，{B_1}O\underline{\underline{∥}}{C_1}F$，连接OE，OF，
于是$OE\underline{\underline{∥}}{B_1}{A_1}$，$OF\underline{\underline{∥}}{B_1}{C_1}$，∴OE=OF．∵B₁A₁⊥A₁D₁，
∴OE⊥AD．∵B₁C₁⊥C₁D₁，∴OF⊥CD．
∴点O在BD上，故B₁D₁与BD共面．
（2）解：由（1）知AC⊥DD₁，AC⊥DB，
∴AC⊥平面DBB₁D₁．
过点A在平面ABB₁A₁内作AM⊥B₁B于M，连接MO，
则B₁B⊥平面AMC，
于是，BB₁⊥MO．
所以，∠AMO是二面角A-BB₁-D的一个平面角．
根据勾股定理，有${A_1}A=\sqrt{5}，{C_1}C=\sqrt{5}，{B_1}B=\sqrt{6}$．
有$OM=\frac{{{B_1}O\cdotOB}}{{{B_1}B}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，$AM=\sqrt{\frac{10}{3}}$．
∴二面角A-BB₁-D的余弦值为$\frac{OM}{AM}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查了空间线面面面垂直与平行的判定与性质定理、二面角、三角形面积计算公式、勾股定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．