Question

15．已知函数f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，其中a为常数，且a≠0．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=1处取得极值，且在（0，e]的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据f′（x）=0，可构造关于a，b的方程，根据a=2求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，则f′（1）=0，又由函数在（0，e]上的最大值为1，讨论a，得出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．

解答 解：（1）f（x）=mx=2x²-5x，$f′（x）=\frac{1}{x}+4x-5=\frac{（4x-1）（x-1）}{x}$令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{4}$或1，则

x	（0，$\frac{1}{4}$）	$\frac{1}{4}$	（$\frac{1}{4}，1$）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以f（x）在（0，$\frac{1}{4}$）和（1，+∞）上单调递增，在[$\frac{1}{4}，1$]上单调递减．
（2）∵$f′（x）=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，令$f′（x）=0，{x}_{1}=1，{x}_{2}=\frac{1}{2a}$，因为f（x）在x=1处取得极值，
所以x₂=$\frac{1}{2a}≠{x}_{1}=1$
①$\frac{1}{2a}＜0$时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以f（x）在区间（1，e）上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=-2；
②当a＞0，x₂=$\frac{1}{2a}＞0$；
（i）当$\frac{1}{2a}＜1$时，f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上单调递增，（$\frac{1}{2a}，1$）上单调递减，（1，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=$\frac{1}{2a}$或x=e处取得，
而f（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$-$\frac{1}{4a}$-1＜0，
所以f（e）=lne+ae^{2_{-（2a+1）e=1}}，解得a=$\frac{1}{e-2}$，
（ii）当1≤$\frac{1}{2a}＜e$时，f（x）在区间（0，1）上单调递增；（1，$\frac{1}{2a}$）上单调递减，（$\frac{1}{2a}，e$）上单调递增，所以最大值1可能在x=1或x=e处取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，所以f（e）=lne+ae^{2_{-（2a+1）e=1}}，解得a=$\frac{1}{e-2}$
1＜x₂=$\frac{1}{2a}＜e$矛盾；
（iii）当x₂=$\frac{1}{2a}≥e$时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，
所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾，
综上所述，a=$\frac{1}{e-2}$或a=-2．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．