Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数为${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$，利用函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}≥0$在（1，+∞）上恒成立，得到$x≥\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，然后求解即可；
（2）求出导函数g′（x），判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 解：（1）f（x）的导数为${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$，
因为函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
所以${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}≥0$在（1，+∞）上恒成立，
即$x≥\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，
所以只需$1≥\frac{1}{a}$，
又因为a＞0，所以a≥1；
（2）因为x∈[0，+∞），所以${g^'}（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}≤0$
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，
所以g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值为g（0）=0．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查计算能力．