Question

1．已知函数f（x）=2x³-3x²-f′（0）x+c（c∈R），其中f（0）为函数f（x）在x=0处的导数．
（1）求函数f（x）的递减区间；
（2）若函数f（x）的极大值和极小值互为相反数，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=6x²-6x-f′（0），令x=0得f′（0）=0，令f′（x）＜0，解得x范围可得函数f（x）的递减区间．
（2）由（1）可得：函数f（x）在（-∞，0）上递增，在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，可得f（x）_极小值=f（1），f（x）_极大值=f（0），列出方程即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=6x²-6x-f′（0），
令x=0得f′（0）=0-f′（0）⇒f′（0）=0，
∴f′（x）=6x²-6x，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，
∴函数f（x）的递减区间为（0，1）．
（2）由（1）可得：函数f（x）在（-∞，0）上递增，在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=2-3+c，f（x）_极大值=f（0）=c，
∴2-3+c+c=0，
解得$c=\frac{1}{2}$．
∴f（x）=2x³-3x²+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．