Question

16．设函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）≤0；
（2）求证：?n∈N*，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜$\frac{2}{3}{（n+1）^{n+1}}$成立．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值g（a）=a-lna-1，再求出g（a）的单调区间，从而得到g（a）≤0；
（2）根据题意得到e^x＞x+1，从而可得（x+1）ⁿ⁺¹＜（e^x）ⁿ⁺¹=e^（n+1）x，给x赋值，从而得到答案．

解答 解：（1）由a＞0，及f′（x）=e^x-a可得：
函数f（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
∴函数f（x）的最小值g（a）=f（lna）=a-alna-1，
则g′（a）=-lna，
故a∈（0，1）时，g′（a）＞0，a∈（1，+∞）时，g′（a）＜0，
从而g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，且g（1）=0，故g（a）≤0；
（2）证明：由（Ⅱ）可知，当a=1时，总有f（x）=e^x-x-1≥0，当且仅当x=0时“=”成立，
即x＞0时，总有e^x＞x+1，于是可得（x+1）ⁿ⁺¹＜（e^x）ⁿ⁺¹=e^（n+1）x，
令x+1=$\frac{1}{n+1}$，即x=-$\frac{n}{n+1}$，可得（$\frac{1}{n+1}$）ⁿ⁺¹＜e^-n，
令x+1=$\frac{2}{n+1}$，即x=-$\frac{n-1}{n+1}$，可得：（$\frac{2}{n+1}$）ⁿ⁺¹＜e^1-n，
令x+1=$\frac{3}{n+1}$，即x=-$\frac{n-2}{n+1}$，可得：（$\frac{3}{n+1}$）ⁿ⁺¹＜e^2-n，
…，
令x+1=$\frac{n}{n+1}$，即x=-$\frac{1}{n+1}$，可得：（$\frac{n}{n+1}$）ⁿ⁺¹＜e^-1，
对以上各等式求和可得：
（$\frac{1}{n+1}$）ⁿ⁺¹+（$\frac{2}{n+1}$）ⁿ⁺¹+（$\frac{3}{n+1}$）ⁿ⁺¹+…+（$\frac{n}{n+1}$）ⁿ⁺¹
＜e^-n+e^1-n+e^2-n+…+e^-1
=$\frac{{e}^{-n}（1{-e}^{n}）}{1-e}$＜$\frac{1}{e-1}$＜$\frac{2}{3}$，
∴对任意的正整数n，都有（$\frac{1}{n+1}$）ⁿ⁺¹+（$\frac{2}{n+1}$）ⁿ⁺¹+（$\frac{3}{n+1}$）ⁿ⁺¹+…+（$\frac{n}{n+1}$）ⁿ⁺¹＜$\frac{2}{3}$，
∴1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜$\frac{2}{3}{（n+1）^{n+1}}$成立．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，对于第Ⅲ问，问题转化为（x+1）ⁿ⁺¹＜（e^x）ⁿ⁺¹=e^（n+1）x，给x赋值是解题的关键，本题是一道难题．