Question

6．数列{a_n}的前n项和为S_n=10n-n²，求数列{|a_n|}的前n项和．

Answer 1

分析 利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n=11-2n．得到当n≤5时，a_n＞0；当n≥6时，a_n＜0．进而得到当n≤6时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=S_n．当n≥6时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+a₈+…+a_n）=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：当n=1时，a₁=S₁=10-1=9．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=11-2n．
令a_n≥0，解得n≤5，
∴当n≤5时，a_n＞0；当n≥6时，a_n＜0．
∴当n≤5时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=10n-n²．
当n≥6时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+a₈+…+a_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50．
综上可知数列{|a_n|}的前n项和S_n′=$\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}（n≤5）}\\{{n}^{2}-10n+50（n＞5）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求得a_n、数列{|a_n|}的前n项和S_n′、等差数列的通项公式和前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．