Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1及直线l：y=$\frac{3}{2}$x+m，
（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．

Answer 1

分析 （1）将直线方程代入椭圆方程，求得9x²+6mx+2m²-8=0，由△≥0，即可求得实数m的取值范围；
（2）由（1）可知，由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$•$\sqrt{-{m}^{2}+8}$，当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为$\frac{2\sqrt{26}}{3}$．

解答 解：（1）将直线方程代入椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：9x²+6mx+2m²-8=0，
由△=36m²-36（2m²-8）=-36（m²-8），
∵直线l与椭圆有公共点，
∴△≥0，即-36（m²-8）≥0
解得：-2$\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，
故所求实数m的取值范围为[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]；
（2）设直线l与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知：利用韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6m}{9}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{9}$，
故丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{6m}{9}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-8}{9}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$•$\sqrt{-{m}^{2}+8}$，
当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为$\frac{2\sqrt{26}}{3}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．