Question

10．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为棱DD₁上一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面BDD₁B₁；
（2）若P是棱DD₁的中点，求CP与平面BDD₁B₁所成的角大小．

Answer 1

分析 （1）证明：AC⊥面BDD₁B₁，即可证明平面PAC⊥平面BDD₁B₁；
（2）确定∠CPO是CP与平面BDD₁B₁所成的角，即可求CP与平面BDD₁B₁所成的角大小．

解答 （1）证明：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，
又DD₁⊥面ABCD，则DD₁⊥AC．
∵BD?平面BDD₁B₁，D₁D?平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，
∴AC⊥面BDD₁B₁．∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD₁B₁．   …（5分）
（2）解：由（1）已证：AC⊥面BDD₁B₁，∴CP在平面BDD₁B₁内的射影为OP，
∴∠CPO是CP与平面BDD₁B₁所成的角．            …（7分）
依题意得$CP=\sqrt{2}，CO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△CPO中，CO=$\frac{1}{2}CP$，∴∠CPO=30°
∴CP与平面BDD₁B₁所成的角为30°．                …（12分）

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．