Question

18．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（4m，0）（m＞0）且m为常数，离心率为$\frac{4}{5}$，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C与M，N两点，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当θ=90°时，$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{9}$，求实数m的值；
（3）试问$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的值是否与直线l的倾斜角θ的大小无关，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由焦点求出c，结合椭圆离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由θ=90°，可得直线l垂直x轴，求出M，N的坐标，代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{9}$，即可求得实数m的值；
（3）当θ=90°时，由（2）知$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$；当θ≠90°时，设直线的斜率为k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则直线MN：y=k（x-4m），联立椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出M，N的横坐标的和与积，代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$，说明$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的值与直线l的倾斜角θ的大小无关．

解答 解：（1）由c=4m，$e=\frac{4}{5}$，得：a=5m，∴b²=a²-c²=9m²，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{{25{m^2}}}+\frac{y^2}{{9{m^2}}}=1$；
（2）当x=4m时，${y^2}=\frac{{81{m^2}}}{25}$，得：$|y|=\frac{9m}{5}$，
于是当θ=90°时，$NF=MF=\frac{9m}{5}$，于是$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{9m}{5}=\frac{{9\sqrt{2}}}{5}$，
得到$m=\sqrt{2}$；
（3）①当θ=90°时，由（2）知$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$；
②当θ≠90°时，设直线的斜率为k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则直线MN：y=k（x-4m），
联立椭圆方程有（9+25k²）x²-200k²mx+25m²（16k²-9）=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{200{k^2}m}}{{（9+25{k^2}）}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{25{m^2}（16{k^2}-9）}}{{（9+25{k^2}）}}$，
$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{1}{{5m-\frac{4}{5}{x_1}}}$+$\frac{1}{{5m-\frac{4}{5}{x_2}}}$=$\frac{10m-\frac{4}{5}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{25{m}^{2}-4m（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{16}{25}{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{90m（1+{k}^{2}）}{81{m}^{2}（1+{k}^{2}）}$．
得$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$．
综上，$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$为定值，与直线l的倾斜角θ的大小无关．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．