Question

5．函数y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+6}$（x＞-1）的最大值是3$-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意将函数变成化简为$\frac{1}{y}=\frac{{x}^{2}+5x+6}{x+1}=\frac{（x+1）^{2}+3（x+1）+2}{x+1}$，从而利用基本不等式求解．最小值，可得函数y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+6}$（x＞-1）的最大值

解答 解：函数y=$\frac{x+1}{{x}^{2}+5x+6}$（x＞-1），
则$\frac{1}{y}=\frac{{x}^{2}+5x+6}{x+1}=\frac{（x+1）^{2}+3（x+1）+2}{x+1}$=$（x+1）+\frac{2}{x+1}+3$，
∵x＞-1，
∴$（x+1）+\frac{2}{x+1}$$≥2\sqrt{2}$，
（当且仅当x+1=$\frac{2}{x+1}$，即x=$\sqrt{2}$-1时，等号成立）
∴$\frac{1}{y}≥2\sqrt{2}+3$，
得y≤$\frac{1}{2\sqrt{2}+3}$=$3-2\sqrt{2}$
故答案为：3$-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的应用及函数的化简，属于中档题．