Question

15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成．小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．

（Ⅰ）试写出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）的值；
（Ⅱ）利用合情推理中的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式；并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，写出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）和f（5）的值；
（Ⅱ）根据前面5个函数值，得出规律，f（n）-f（n-1）=4（n-1），从而求出f（n）的表达式．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，得出
f（1）=1，f（2）=5，
f（3）=13，f（4）=25，
f（5）=41；
（Ⅱ）根据前面四个发现规律：
f（2）-f（1）=4×1，
f（3）-f（2）=4×2，
f（4）-f（3）=4×3，
…，
f（n）-f（n-1）=4（n-1）；
这n-1个式子相加可得：f（n）=2n²-2n+1．

点评 本题考查了归纳推理的应用问题，基本思路是先分析，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，是基础题目．