Question

20．已函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）作出函数y=f（x）的图象；
（2）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的性质表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）利用函数f（x）的图象，结合直线斜率的关系进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，}&{x≥3}\\{4，}&{-1＜x＜3}\\{-2x+2，}&{x≤-1}\end{array}\right.$，
则对应的图象为：

（2）当a=0时，y=0与f（x）的图象没有交点，此时不等式f（x）≤ax的解集为空集，不满足条件．
当a＞0时，当直线y=ax经过点A（3，4）时，3a=4，即a=$\frac{4}{3}$，
要使不等式f（x）≤ax的解集非空，
则a≥$\frac{4}{3}$，
当a＜0时，当直线y=ax的斜率a=-2时，f（x）与y=ax平行，没有交点，
要使使不等式f（x）≤ax的解集非空，则-2＜a＜0，

综上要使不等式f（x）≤ax的解集非空，则a≥$\frac{4}{3}$或-2＜a＜0．

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用数形结合以及分类讨论的数学思想是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．