Question

11．已知函数f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞$\frac{（x-k）lnx}{x-1}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，可得f（1）=2b=2，f′（1）=a-b=0，解方程可得a，b；
（II）当x＞1时，不等式f（x）＞$\frac{（x-k）lnx}{x-1}$，即为（x-1）lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$＞（x-k）lnx，即（k-1）lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$＞0，令g（x）=（k-1）lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，求出导数，令m（x）=x²+（k-1）x+1，讨论①当$\frac{1-k}{2}$≤1即k≥-1时，②当$\frac{1-k}{2}$＞1即k＜-1时，求出单调性，即可得到k的范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）=alnx+$\frac{b（x+1）}{x}$的导数为
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），
∴f（1）=2b=2，f′（1）=a-b=0，------------------------------------------------------（2分）
解得a=b=1--------------------------------------（3分）
（II）当x＞1时，不等式f（x）＞$\frac{（x-k）lnx}{x-1}$，即为（x-1）lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$＞（x-k）lnx，
即（k-1）lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$＞0----------（5分）
令g（x）=（k-1）lnx+$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，g′（x）=$\frac{k-1}{x}$+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（k-1）x+1}{{x}^{2}}$，-----------（7分）
令m（x）=x²+（k-1）x+1，
①当$\frac{1-k}{2}$≤1即k≥-1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，
则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞$\frac{（x-k）lnx}{x-1}$恒成立．----------（9分）
②当$\frac{1-k}{2}$＞1即k＜-1时，m（x）在上（1，$\frac{1-k}{2}$）上单调递减，
且m（1）＜0，故当x∈（1，$\frac{1-k}{2}$）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，
所以函数g（x）在（1，$\frac{1-k}{2}$）单调递减，-----------------------------------（10分）
当x∈（1，$\frac{1-k}{2}$）时，g（x）＜0与题设矛盾，
综上可得k的取值范围为[-1，+∞）----------------------------------------（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，属于难题．