Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，点（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，点D（0，-1），当|DM|=|DN|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求出MN中点的坐标，再由斜率关系得到m与k的关系，代入判别式大于0求得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）依题意知：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{b-0}{0-1}•\frac{-b-0}{0-1}=-1}\end{array}\right.$，解得：a²=3，b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消y得：（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）=12（3k²-m²+1）＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3（{m^2}-1）}}{{3{k^2}+1}}$，
设MN中点E（x₀，y₀），则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{{3{k^2}+1}}$，
∵D（0，-1），且|DM|=|DN|，∴DE⊥MN，则k_DE•k=-1，
∵${k_{DE}}=\frac{{\frac{m}{{3{k^2}+1}}+1}}{{-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}-0}}=\frac{{m+3{k^2}+1}}{-3km}=-\frac{1}{k}$，∴3k²+1=2m，
代入△=12（3k²-m²+1）＞0，知m²-2m＜0，解得0＜m＜2．
综上：符合条件的实数m的取值范围是（0，2）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．